Oppgavediskursen

När Ola var liten och och gick i skolan räknade han uppgifter i matteboken. Fröken samlade in och rättade. På avverkade sidor klippte fröken av hörnet. Det hela genererade ett slags driv. Ett tillfredsställande känsla av att ta sig framåt i matteboken. Senare, på högstadiet, var Ola inte lika lätt tillfredsställd. Läraren hade för länge sedan slutat att klippa av hörnen och intet nytt serverades under matte-solen. Det fanns helt enkelt inte längre någon anledning att räkna några uppgifter. Samma gamla matematik, bara pyttelite svårare. Det räckte helt enkelt att snegla i boken för att se vad det nya var och snabbt kolla upp att den sista uppgiften i varje kapitel inte såg svår ut. Sen gick det att leverera resultat på proven.

En dag blev Ola påkommen av sin lärare med att inte ha räknat en enda uppgift på hela terminen. Räknehäftet var tomt. Dum som han var hade han gömt undan räknehäftet i ett skåp i klassrummet där läraren enkelt hittade den. Läraren blev sur, besviken och passivt aggressiv. Så här får det inte gå till. Man får inte klara proven utan att räkna många uppgifter innan. Det är helt enkelt en förolämpning mot hela organisationen av undervisningen. Den undervisning som bygger på att eleverna räknar ca 1000 uppgifter per årskurs och sen nästa år räknar ca 1000 i princip likadana, marginellt svårare uppgifter. Olas kränkta lärare straffade honom med att inte ge honom högsta betyg och så fick han räkna några gamla uppgifter för att räknehäftet skulle se respektabelt ut. Olas latmaskeri skulle inte få passera, helt oavsett av att Ola faktiskt hade tillägnat sig de matematikkunskaper som ingick i årskursen.

Om man tittar i kursplanen för grundskolan ser man hur lite matematik eleverna förväntas lära sig under 9 år. Det faktiskt en bedrift att lyckas smeta ut matematiken i en så långsam repetitiv progression och samtidigt skapa en känsla hos många lärare, elever och föräldrar att det är stressigt att hinna med matten. Hur är det möjligt? Vi tror att en förklaring är just mängden uppgifter. Många lärare låter eleverna räkna i matteboken från sidan 1 och framåt, trots att det är dåligt av flera skäl. Vi vill nu vara tydliga med att vi inte förespråkar bokbål av matteböcker. Tvärtom, vi gillar matteböcker. De är oftast helt nödvändiga för att bedriva undervisning, om du frågar oss. Det är när böckerna används som en plan för undervisningen i stället för en resurs att välja intressanta uppgifter ur, som vi känner oss tveksamma. Och när lärobokens innehåll får representera den matematik som ska gås igenom.

Man kan undra varför vi har så många uppgifter? Tittar man i äldre matematikböcker ser det inte ut så. Där är ofta varje enskild uppgift “ny” i betydelsen att den innehåller en specifik svårighet som inte finns i föregående uppgifter. Men jämfört med räkneläror från början av 1800-talet kom böcker från tidigt 1900 -tal att innehålla minst 100 gånger så många uppgifter. Och där är vi ännu. [note]Lundin, S. (2008, s.104). Skolans matematik: en kritisk analys av den svenska skolmatematikens förhistoria, uppkomst och utveckling (Doctoral dissertation, Acta Universitatis Upsaliensis).[/note]

Stieg Mellin-Olsen kallar detta för Oppgavediskursen och istället för ett sådant upplägg så förordar han ett “undersökningslandskap” där elever tillsammans med läraren undersöker intressanta matematiska fenomen. Det är lite som att bedriva undervisning via endast problemlösning. Men vi menar att så långt måste man inte nödvändigtvis gå. Ett första steg är istället att fundera på uppgifters olika roller i undervisningen. I Oppgavediskursen så får elever först uppgifter som de inte kan. Sedan förklaras hur samma uppgifter ska lösas. Sedan tränar eleverna på samma typ av uppgifter och slutligen så testas eleverna på om de kan samma typ av uppgifter. Men om uppgifter ska användas på ett genomtänkt sätt i undervisningen så behöver man fundera på uppgifternas olika roller i undervisningen.

Den första rollen syftar till introducera ett begrepp genom att låta eleverna operationellt arbeta med situationer där begreppet används. Uppgiftens roll är att ge en viss säkerhet i val av metod och beräkningar. Här handlar det om att öva in baskunskaper. Det spelar ju ingen roll att eleverna förstår hur ett problem skulle kunna lösas om de inte kan genomföra beräkningarna. Osäkerhet i grunder som taluppfattning, additions- och multiplikationstabeller, kommutativa, distributiva och associativa lagen lägger effektivt ut spanska ryttare för elevens fortsatta lärande. Detsamma gäller osäkerhet i deriveringsregler eller standardintegraler. Eller metoder för att avgöra talföljders konvergens. Baskunskaperna tar aldrig slut i matematiken. Att känna till effektiva rutiner och veta när de ska tillämpas är en central del av allt matematisk arbete. Här behövs uppgifter för övning.

En uppgifts andra roll är att illustrera och fördjupa ett begrepps innebörd. Här är det särskilt lämpligt att välja olika situationer från olika matematiska områden för att illustrera begreppets styrka och räckvidd, samtidigt som kopplingar mellan matematikens olika områden områden kan göras. Vi kan ta ett exempel. Varför inte begreppet proportion (som av en händelse). Betrakta följande uppgifter, som vi snott från tester utformade av Mogens Niss och Uffe Thomas Jankvist.

Tvätta kläder: Den mindre förpackningen innehåller 1 kg tvättmedel som räcker till 20 tvättar och den kostar 4 dollar. Den större förpackningen innehåller 1,5 kg tvättmedel som räcker till 30 tvättar och den kostar 6,50 dollar. Vilken förpackning är mest ekonomisk?

Tärning: En tärning av trä där alla kanter är 2 cm väger 4,8 gram. Vad väger en tärning av trä, där alla kanter är 4 cm?

Linje: Vi vet att en ekvation på formen y=ax (där a är en konstant) ger en rät linje genom (0,0) i ett koordinatsystem. Har varje rät linje genom origo en ekvation som kan skrivas på formen y=ax, där a är en konstant?

Dessa tre uppgifter skulle vanligen hamna i olika kapitel i boken, men handlar alla om proportionella samband och linjäritet. Tillsammans kan dessa säga mycket mer om elevernas begreppskunskap när det gäller proportionalitet än var var och en för sig gör. Varje uppgift för sig kan till det yttre synas handla om att lära sig att hantera en viss matematisk situation, men  när uppgifterna behandlas tillsammans får de en tydlig roll som illustrationer av omfånget av proportionalitetsbegreppet.

Uppgifters tredje roll är att fungera som ett verktyg för att kontrollera elevernas kunskaper och samtidigt ge information om hur den fortsatta undervisningen ska läggas upp. Här är viktigt att tänka efter vilka uppgifter som testar vad. Operationella grundkunskaper eller begreppsförståelse. En analys i förväg underlättar bedömningen och genom att känna igen vanliga fel och utbredd förvirring så kan uppgifterna konstrueras med större träffsäkerhet. Uppgifter som prövar grundkunskaper om operationer ska i princip alla elever klara för att undervisningen ska anses ha haft avsedd effekt. Uppgifter som avser att ge information om begreppsförståelse är mer intrikata. Där är en korrekt ansats kombinerad med en felaktig beräkning en mindre anledning till oro än ett korrekt svar som erhållits genom att runda den kunskap om begreppet som undervisningen avsett att ge. Vad menar vi med det? Ett exempel är uppgifter där eleverna ska räkna ut en procentuell prishöjning. Detta kan göras både additivt, genom att eleverna först beräknar höjningen för att sedan addera den till det ursprungliga priset, och multiplikativt genom att eleverna använder förändringsfaktor. Visserligen ger båda metoderna ett korrekt svar men användandet av förändringsfaktor visar på en djupare begreppsförståelse för multiplikativa resonemang. Övergången till att använda förändringsfaktor behövs för att eleverna senare ska kunna beräkna ränta på ränta och andra exponentiella samband. Det är därför helt centralt att inte bara bedöma om eleven har räknat rätt. Karaktären på den använda metoden behöver också analyseras.

Det finns fler problem med att låta boken styra undervisningen. Många elever upplever att det är stressigt att hinna med alla uppgifter. Det slår tillbaka på elevernas nyfikenhet och eftertanke. Matte blir synonymt med att ha hunnit räkna flest uppgifter – raka motsatsen till Ola som lutade sig tillbaka och fattade hur det hängde ihop. Någon slags gyllene medelväg känns som en bra lösning att sträva efter. En annan risk är att eleverna förstår matematiken som ett ämne där det gäller att känna igen så många uppgiftstyper som möjligt, så att de är helgarderade inför proven. Inga nya tankar ska behöva tänkas när det gäller att prestera.

En undervisning som syftar till att lära eleverna att känna igen operationella invarianter och matematiska strukturer behöver inte presenteras för alla tänkbara situationer. Eleverna kan istället transformera sin begreppskunskap till den nya situationen och känna sig trygga ändå. Därför menar vi att det är bättre att sträva efter en undervisning där eleverna lär sig analysera vilken eller vilka underliggande matematiska idéer som är i spel. Det här låter ju bra men funkar det verkligen? Ja det gör det. Linda har bara elever som tidigare har har haft problem med matematiken i skolan. Hon arbetar mycket med att eleverna ska känna igen de ingående relationerna i allmänhet och de proportionella situationerna i synnerhet. Funkar bra faktisk! Ett tecken på detta var när Linda läste en artikel om särbegåvade elever som stötte på patrull när de skulle lösa en uppgift som beskrev en situation som de inte tidigare var bekanta med.

A dinner was attended by the same number of women and men. A bowl of rice was served for every two people, every bowl of soup was served to every three people and every bowl of meat to every four people. The guests used 52 bowls in total. How many men and how many women, respectively, were at the dinner?

Linda kände sig tveksam. Detta kunde väl omöjligt vara en svår uppgift? Hon provade genast på sina studerande. De löste den snyggt på tavlan på bara några få minuter. På Lindas fråga: Fint killar hur gjorde ni?, svarade de att de bestämde minsta antal personer som jämnt kan dela på skålar för 2, 3 och 4 personer. Det ger 12 personer för 13 skålar, och så skalade de upp till 52 skålar för 48 personer (24 män och 24 kvinnor). Inga problem. Proportionella resonemang som vanligt.

För ett tag sedan hörde vi talas om en lärare, vi kan kalla henne Berit, som var superstressad för att hon inte hann rätta elevernas matteböcker. Allt skulle rättas, dock utan uppföljning av elevernas resultat, och så skulle hörnen på avverkade sidor klippas av. Detta pedagogiska knep ägnade sig även Olas mamma, Siw, åt under sin livslånga karriär som lärare. Men i hennes fall var denna procedur ihopkopplad med en idé. När en elev visade sig ha problem med vissa begrepp eller metoder så visade sig det i att vissa uppgifter inte klarades av. Istället för att klippa av hörnen på dessa sidor skrev hon en förklaring och pratade med eleven. Det var en rationell rutin i en kontext där de flesta trots allt klarade av de flesta uppgifterna och utvecklade sitt matematikkunnande i förväntad takt. Men för Berit var hörnklippandet snarare en fråga om att få en snabb koll på hur stor del av bokens sidor som eleverna hade avverkat. Rutinen ser på ytan likartad ut, men kopplingen till det matematiska innehållet är förlorad. Klippta hörn är en symbol för avklarade sidor istället för att oklippta hörn är en symbol för ännu ej förvärvad matematikkunskap och en indikation att läraren behöver ingripa. Pedagogiken har gett vika för ritualen att matematiklärare rättar och klipper hörn. Till vilken nytta?

Uppgifter, uppgifter, uppgifter. Elever förväntas lösa upp mot 10000 uppgifter om de räknar böcker i grundskolan. Kan det verkligen vara vettigt? Nej, det tror vi inte. Vad tror du?

Linda Marie Ahl & Ola Helenius