Det centralaste centrala begreppet

Har du någon gång gjort något som du skulle vilja ha ogjort? Det går ju inte. Men i matematiken går det ibland. Med det förträffliga fenomenet invers. En magisk ogörningsoperator. Vad vore matematiken utan invers? I bästa fall hälften av vad den nu är, men troligen inte ens det. Vad skulle vi göra utan inversen till addition (subtraktion), inversen till multiplikation, (division) och inversen till exponentiering (logaritmering)? För att inte tala om den multiplikativa inversen till ett tal, det vill säga det tal som multiplicerat med originaltalet ger det neutrala elementet 1. Eller den additiva inversen för den delen, det som adderat till talet ger additionens neutrala element 0. Och hur ska vi dividera rationella tal utan invers? Eller lösa ekvationer? Nej, matematiken vore inte mycket utan det centralaste centrala begreppet: invers.

 

Konstigt nog nämns inte detta matematiska fundament någonstans i kursplanerna eller i kommentarmaterialet. Inte heller de läroböcker som vi har sett utnyttjar begreppet invers på ett systematiskt sätt. Det är ju väldigt märkligt med tanke på allt vi kan få “på köpet” om vi systematiskt undervisar om inversen till de operationen och processer vi arbetar med. Då skulle vi undervisa addition och subtraktion samtidigt, som två sidor av samma mynt istället för som två räknesätt. Och så gör man också i väldesignad undervisning på lågstadiet. Samma sak borde göras med multiplikation och exponentiering tycker vi [1].

 

Inverser kan användas som tankemodell i många olika situationer. Hur ska man till exempel räkna ut 10-(-4+5) ? Ja, proceduren är ju att man först ska räkna ut det som står inuti parentesen, så då står det ju bara 10-1. Men hur gör man generellt med parentesen, om det t ex står a-(-b+c)? Ta bort parentesen och byt tecken säger en del. Men varför? Ja ett sätt är tänka att -x betyder den additiva inversen till x, dvs det som ska adderas till x för att få 0. Och då ser man direkt att det är b-c som funkar. Så -(-b+c)=+b-c . I uttrycket a-(-b+c) kan vi alltså byta ut -(-b+c) mot +b-c och få a+b-c

 

Samma tanke funkar i ekvationslösning. I ekvationen 2x+5=10 vill vi ha bort femman i vänsterledet. Eller som Linda brukar säga “Vi tar död på allt oönskat med inverser”. I det här fallet är det alltså den additiva inversen till +5, dvs -5, som vi använder först. På båda sidor om likhetstecknet, naturligtvis. På den resulterande ekvationen 2x=5 tillämpas samma tanke igen. Fast nu är det multiplikationen med 2 som är det oönskade. Att neutralisera tvåan görs med den multiplikativa inversen, dvs vi delar båda sidorna med 2 eller multiplicerar båda sidorna med \frac{1}{2} .

 

En annan uppgift som många elever har svårt för är “vad ska man multiplicera 8 med för att få 7”. Ola läste en dag om denna svårighet och när han senare pratade med Linda så var hon övertygad om att hennes elever skulle kunna lösa den utan problem, fastän de aldrig hade stött på just den frågeställningen tidigare. Linda genomförde genast en liten empirisk undersökning med sina elever genom att skriva upp: Vad ska man multiplicera 8 med för att få 7. Och mycket riktigt, alla gav direkt svaret \frac{7}{8} utan att genomföra några beräkningar. Det var för att de var impregnerade med ett inverstänk. För den som tänker så handlar frågan om att ogöra åttan (med dess invers: en åttondel) och skapa sjuan. Det följer direkt att \frac{7}{8}  är den multiplikator vi söker. Enligt Lindas erfarenhet avhjälper inverstänket risken att eleverna försöker runda de rationella talen till förmån för tal skrivna i decimalform. Det är helt enkelt mycker mer effektivt att ta fram bråket \frac{7}{8}  genom att ogöra åttan och skapa sjuan i ett bråk. Att hitta ett tal i decimalform som gör jobbet är svårare eftersom vi har primtalet 7 i spel. Inte alls effektivt. Vänder vi tillbaka och frågar efter vilket tal som ska multipliceras med 7 för att få produkten 8 så blir det helt omöjligt, eller i alla fall i högsta grad opraktiskt, att hantera frågan med ett tal skrivet i decimalform, eftersom primtalet 7 nu står i nämnaren. Eleverna märker snabbt att de rationella talen, och rent allmänt: rationella uttryck, är helt överlägsna i skalningssituationer. Och det är inverstänket som ger de rationella uttrycken sin kraft.

 

För den som har koll på sina inverser blir det här med att lösa ekvationer inte särskilt utmanande. Inverser,  likhetstecknets betydelse, som vi diskuterade i förra bloggen, och de tre grundläggande räknelagarna associativitet, kommutativitet och distributivitet är vad som behövs. Ekvationslösning faller då ut som en naturlig konsekvens. Det är bara att städa upp i uttrycken med hjälp av inverser, följandes räknelagarna, tills den obekanta är isolerad och uttrycket för den obekanta står läsa på andra sidan likhetstecknet. Så det här med att lösa ekvationer är egentligen inte något som behöver undervisas särskilt mycket. Det är snarare inverser och räknelagar som behöver belysas i olika situationer. Om något borde man introducera ekvationer tidigare som ett sätt att öva på likhetstecknets betydelse och hur man tänker i termer av invers. Och delvis görs det när man behandlar öppna utsagor av typen 2+\_=5. Om du som läsare känner dig misstänksam mot att det inte skulle vara nödvändigt att låta eleverna beta av ett kapitel som heter Ekvationer varje år så kan du ju fråga dig: Hur bra har det fungerat hittills? Linda är närmast allergisk mot att ekvationslösning föräras egna kapitel i läromedel. Hon ser dem som ett verktyg och en konsekvens av redan kända finfina idéer och inte en egen storslagen matematisk idé. Därför har den inte rätt att existera på samma rubriknivå som till exempel funktioner. Det indikerar ju att ekvationer och funktioner skulle vara lika viktiga inom matematiken. En hårresande missuppfattningstanke! Det vore kanske bättre om ekvationer kontinuerligt användes som problemlösningsverktyg istället för att förvisas till ett eget kapitel i boken. Ola är som algebraiker mer förtjust i ekvationer än Linda eftersom de trots allt har en grundläggande roll i den högre matematiken. Men vi är båda överens om att ekvationer särbehandlas på ett konstigt sätt i skolmatematiken.

 

Men tillbaka till inverserna. Alla dessa enskilda metoder för att hantera parenteser, ekvationer, bråk och multiplikation är naturligtvis redan någon som alla lärare undervisar. Men vi tror inte att alla systematiskt framställer de olika sakerna som tillämpning av samma generella idé, nämligen inversen. Det tror vi att man borde. Kanske tycker någon att vi slänger oss med termen invers lite oprecist här. Det är ju massa olika inverser. Additiva respektive multiplikativa inverser till tal. Inverser till operationer eller operatorer och inverser till funktioner. Blir inte eleverna förvirrade om man benämner alla dessa olika saker med samma term? Nej det tror vi inte. Det är ingen slump att vi har valt  upphöjt till minus ett både för att beteckna den multiplikativa inversen av ett tal s^{-1} och för att beteckna inversen av en funktion f^{-1}.  Henri Poincaré sa en gång att matematik är konsten att ge samma namn till olika saker. Inversen är en kraftfull och användbar matematisk idé som förekommer i olika skepnader. Vi tror att det är bättre att poängtera den begreppsliga likheten mellan alla dessa fall snarare än att få det att framstå som en stor mängd olika tekniker och procedurer[2].

 

Och om man tidigt har vant sig vid ogörningsoperationer och annat baklängestänk så har man en stor fördel när inverserna blir mer komplicerade som t ex för trigonometriska funktioner där man måste begränsa definitionsmängden för att inversen ska existera. Om man är bekväm med inverstänket sedan tidigare blir det nog också enklare att förstå varför vissa funktioner inte har invers. Kanske blir det också lättare att förstå när påståenden kan omvändas. Omvändningen till satser faller också under ett baklängestänk. Till exempel att omvändningen till Pythagoras sats gäller för att avgöra om en triangel är rätvinklig. Och att faktorisering av polynom är ju som att köra distributiva lagen baklänges. Väldigt centralt inom algebran faktiskt. Har eleverna dessutom koll på att 1 är det neutrala elementet i multiplikation blir det helt rimligt att ställa en etta på en plats som råkar bli tom när en gemensam faktor bryts ut.

 

Som vi vi nämnde ovan är det relativt vanligt idag att behandla addition och subtraktion samtidigt. Ett utmärkt sätt att närma sig inverser. Men det är ovanligare att man gör samma sak med multiplikation och division. Man kan även lära små barn som just fått kontakt med multiplikation att division är inversen till multiplikation. Såvida de inte haft oturen att ha blivit utsatta för en introduktion av multiplikation som upprepad addition, förstås. Den tragedin förtjänar en helt egen framtida bloggpost.

Linda Marie Ahl & Ola Helenius

 

 

  1. När det gäller våra mest elementära funktioner, de vanliga aritmetiska operationerna, är det rent formellt lite lurigt med inverser. Om vi tänker på addition som en funktion x+y, dvs f(x,y)=x+y så finns ju ingen invers. Om Pelle har fem päron och Lisa har tre så har de åtta tillsammans. 5+3=8. Men om de har 8 äpplen tillsammans, hur många har då var och en av dem? Det går inte att säga. Nej, en lite annan syn på addition måste till. Pelle har  fem äpplen. Han hittar tre till. Hur många har han sen? Här är addition en slags förändring och situationen beskrivs av läge -> förändring ->  nytt läge. En sån här förändring kan göras ogjord genom att man helt enkelt tar bort de tillagda äpplena. Pelle har äpplen. Han hittar tre till. Sen har han  8. Hur många hade han från början? Där har vi två situationer som så att säga är inverser till varandra. Med andra ord får rent formellt tänka på addition som en operator. Adderafemoperatorn är den operator som alltid lägger till 5 till något: f_{+5}(x)=x+5. Den har inversen minusfemoperatorn f_{-5}(x)=x-5. På samma sätt tänker man med de andra aritmetiska operationerna. Om man vill vara formell, alltså. I praktiken behöver man dock mycket sällan vara så formell.
  2. Den generella tolkningen av inverser är att saken ihopsatt med inverssaken ska bli identiteten. Vad ihopsättning är beror på sammanhanget. Vad identiteten är beror också på sammanhanget men det är helt enkelt den sak som inte gör någon skillnad när man tillämpar den. Identiteten vid addition är 0. Identiteten vid multiplikation är 1. Identiteten för funktioner är f(x)=x. Därför är -a den additiva inversen till a, ty -a+a=0 och den multiplikativa inversen till a är 1/a ty a/a=1. Och inversen till f(x)=2x+1 är g(x)=\frac{x-1}{2} för g(f(x))=g(2x+1)=\frac{(2x+1)-1}{2}=x.
Kategorier: Okategoriserade

Likhetsnormen

Olas sjuåriga dotter Lisa skriver:

3+2=5

Så långt allt väl. Men hon fortsätter. Strax därefter har hon producerat det skriftliga uttrycket:

3+2=5+3=8

Ola utbrister: Aj, jag tycker inte om när man skriver sådär.

Det Lisa skriver är helt korrekt ur ett perspektiv. Det är en helt korrekt illustration av processen att först addera tre och två, fundera ut vad det blir och sedan addera tre och dra slutsatsen att det är åtta. Men den vedertagna notationen för likhetstecknet sammanfaller ju inte med hur Lisa skapar en skriftlig representation av sina matematiska handlingar. Därav Olas uttryck av obehag. Eftersom Ola är matematiker är han välbekant med hur likhetstecknet ska behandlas. Det finns visserligen så vitt vi vet ingen ISO-standard som deklarerar exakt hur likhetstecknet ska användas. Men icke desto mindre finns det en historiskt och kulturellt grundad  överenskommelse om likhetstecknet som reglerar användningen.  Denna överenskommelse sammanfaller med den matematiska definitionen av begreppets innebörd. Det finns ju inget objektivt skäl till att Lisas användning är fel. Hon verkar ju ha fattat galoppen! Det är bara fel i relation till de etablerade normerna runt hur likhetstecknet förväntas användas. Men de etablerade normerna är viktiga. När Ola säger att han inte tycker om hur Lisa skriver, så kommunicerar han egentligen att han i egenskap av kunnig expert inte godtar Lisas sätt att använda likhetstecknet i sin matematiska kommunikation.

Effekten av detta är att Ola i egenskap av expert etablerar en sociomatematisk norm för hur  likhetstecknet får användas. Han säger säger samtidigt något om likhetstecknet som koncept och något om matematisk auktoritet.

Funkade då Olas taktik för att etablera en norm? Det verkar så. Någon vecka senare sa Lisa “jag skriver så här istället för sådär, för du tycker ju inte om när man skriver så här”. Nu använde hon likhetstecknet korrekt. Lisa är bara 7 år och beundrar, åtminstone i några år till, sin pappa som hon vet är matematiker. En sådan relation underlättar etablerandet av sociomatematiska normer. Hon tillhör dessutom de lyckligt lottade, som har högutbildade föräldrar som kan stötta henne. Men hur är det i den andra änden av skalan? Är det lika lätt att etablera sociomatematiska normer där? I vuxenutbildning klustrar många som återvänder till matematiken efter många år av skolmatematiska misslyckanden. Linda undervisar sådana studenter. De är dessutom är extra “undertryckta” eftersom de sitter i fängelse då Linda är lärare i Kriminalvårdens vuxenutbildning. Men även om hennes elever är vuxna, och borde veta bättre, så förekommer ofta likartade missbruk av likhetstecknet som i Lisa-fallet. Här följer ett exempel:

Linda: Lars, vad gör du nu? Det där är ju inte lika! Du måste vara mer noggrann. Har du skrivit likhetstecken så måste det vara lika.

Linda läxar här upp en av sina studenter. Hon är lite hårdare i tonen än vad Ola var mot sin dotter, men poängen är exakt densamma. Effekten blev att Lars började utelämna likhetstecknet helt och skriva uttryck separerade från varandra på pappret, liksom för att undvika att behöva ta ställning till om uttryck verkligen är lika eller ej. Han blev helt enkelt osäker på exakt hur likhetstecknet skulle användas på ett korrekt sätt och undvek att använda det för att inte göra fel. Eller för att inte misshaga Linda igen, kanske?

Lindas student Lars är 27 år och läser gymnasiets kurs 2 (egentligen läser han kurs 1 men Linda råkade undervisa 1 och 2 på ett bräde). Han är angelägen om att göra rätt och i allmänhet räknar han ut rätt svar på de flesta aritmetiska uppgifterna. Är det bra att Linda har skrämt upp Lars så att han knappt vågar använda likhetstecknet längre? Hon har etablerat en så stark norm runt likhetstecknet att Lars helst undviker det helt och hållet. Ja, vi tror nog det. Lars hade redan fungerande scheman för de processer man behöver för att plocka fram rätt svar till aritmetikuppgifter. Men en av matematikens styrkor är dess formalism. När man gör saker som man kan väldigt väl så kan man kanske slarva med formalismen, men när man sträcker sig mot gränsen av sin matematiska förmåga hjälper formalismen till att minska kraven på arbetsminne och koncentration. Formalismen håller så att säga ordning på en del av matematikens komplexitet åt dig.

Vi kan tänka lite på Lars. Han har lyckats att gå igenom hela grundskolans matematik, och mer därtill, utan att lära sig hur en av matematikens viktigaste symboler ska användas. Han förstår inte riktigt innebörden i begreppet likhet och förstår inte hur likhetstecknet ska användas i matematisk kommunikation. Det måste väl vara ett misslyckande, eller?

Innan vi fortsätter att gnälla på likhetstuppfattningen hos barn och elever kanske vi kan fundera på vår egen kunskap. Vad är likhet då?  Innan du läser vidare, fundera på hur du själv definierar likhet, dvs det som likhetstecknet signifierar. Skriv gärna ned en formell definition.

Det är inte så lätt, för om man till exempel reducerar det till att handla om “lika många” eller “lika mycket” så återstår frågan om vad många eller mycket betyder. I Terminologiboken1 beskrivs likhet som logisk relation som innebär att två uttryck är identiska. Men även där återstår då att förklara vad identiska betyder. \frac{1}{2}=\frac{2}{4} kan vi vara överens om,  men man ser ju med blotta ögat att de två uttrycken inte är identiska. Och dessutom: Om \frac{1}{2} och \frac{2}{4} verkligen var identiska så skulle det ju aldrig vara meningsfullt att byta ut den ena mot den andra, och det ber vi ju elever ofta att göra, t ex när vi ber dem förkorta. Så det håller inte riktigt att säga att likhet gäller om två uttryck är identiska. Den bästa beskrivningen vi känner till är att likhet betyder utbytbarhet. Man måste då hålla ordning på vilket sammanhang man är i. Om man sysslar med aritmetik så gäller att två uttryck är lika om det ena är utbytbart mot det andra i alla aritmetiska sammanhang. Dvs A=B om A och B uppför sig likadant i alla aritmetiska uttryck. Den observanta inser att även detta är lite av en cirkeldefinition. Men det är ändå en avsevärt djupare beskrivning av likhet än att två uttryck är identiska.

Vi återvänder till Linda och hennes elev Lars. Vi sa att det var bra att hon skrämde upp honom genom att göra klart att det finns en stark norm runt hur likhetstecknet ska användas och den associerade frågan om vad likhet är. Lars har inte bara uppmärksammats på att det minsann är något viktigt, det där med likhetstecknet. Han har också uppmärksammats på att det inte bara är svaret på uppgiften som spelar roll. Man kan säga att  precis som när Ola pratade med Lisa så handlar Lindas kommunikation med Lars om att sätta fokus på kommunikation och begreppsförståelse. Men Linda är naturligtvis inte färdig. Hon måste stötta Lars i att bygga upp en förståelse för likhet och för formalismen runt hur likhet behandlas. Formalism är ju som sagt inte bara en fråga om snygga presentationer. Det är en viktig matematisk teknik.

När man arbetar med små barn, och kanske stora med för den delen, är det erkänt viktigt att koppla matematiska begrepp och hur de representeras till barnens erfarenhetsvärld. De matematiska uttryck och representationer som barnen använder och skapar blir kanske inte alltid de konventionella. Skälet till att det här är en bra strategi är att det är det inte räcker med aldrig så välformulerade matematiska definitioner för att förstå matematiska begrepp. Man måste också koppla dem till en stor mängd upplevda situationer som innefattar de fenomen som begreppen avser att fånga. Men det finns inget som hindrar att denna informella matematik mycket tidigt kombineras med den formella. Som vi såg i inledningen var det till och med för Lisa, som är i starten av sin matematiska karriär, möjligt att kunna urskilja formalismens betydelse. Vi tror också att det finns mycket att vinna på att tänka på formalism i termer av normer. Det är liksom som ett slags matematisk gott uppförande, att kunna presentera saker i en formell representation.

Om man låter det gå allt för lång tid av att “slippa undan” i undervisningskontexten så kan det bli svårt att få eleverna att acceptera formalismens betydelse. Så var det med Zoran, en annan av Lindas studenter, som trots tjat vägrade att sluta missbruka likhetstecknet. Han staplade glatt på nya uttryck i högerledet, som då inte alls var lika med vänsterledet, och avfärdade Lindas invändningar med, “du fattar ju var jag menar”. Det gjorde såklart Linda, precis som Ola fattade vad Lisa menade i det inledande exemplet.  Men poängen med matematisk kommunikation och dess formella sida är ju inte bara att någon ska fatta vad man menar. Det är som sagt mycket viktigare än så. Den här gången fick Linda lösa det hela på ett något okonventionellt sätt. Eftersom Zoran var djupt troende muslim så hotade Linda honom med något som har en fundamental betydelse i hans tro. Hon sa: Likhetstecknet är matematikens heliga ko. Om du inte slutar att missbruka likhetstecknets betydelse så ritar jag av Muhammed här i din räknebok. Zoran kontrade: Det kan du inte göra! Linda sa: Try me! Eftersom studenten verkligen både trodde att Linda skulle drista sig till att avbilda Muhammed, samtidigt som han genom analogin förstod att det verkligen är viktigt i matematiken gjorde det susen! Efter denna didaktiska höjdpunkt missbrukades likhetstecknet inte mer. En stark sociomatematisk norm var etablerad! Detta smittade även de studerande som överhörde samtalet, trots att de bekände sig till andra religioner. 2

Vad gäller Lars, så så är han numera helt trygg i sin likhetstecken-användning. Han gick från likhets-missbruk via likhets-skräck till en fullt kompetens likhets-användare.  Han kan nu t ex  genomföra bevis av att två algebraiska uttryck är lika på ett sätt som kräver att han har internaliserat betydelsen av likhet och likhetstecknets användning.

Väldigt många studenter missbrukar likhetstecknet. Vi menar att det kan utgöra ett hinder för deras matematiska utveckling. De flesta har nog otaliga gånger blivit tillsagda vad likhet betyder. Men i de tre exemplen vi visat så går vi inte riktigt vägen över matematiska regler utan formulerar det som godtagbara matematiska beteenden. Istället för att säga att det som Lisa, Zoran och Lars gjorde var matematisk fel lät vi dem förstå att det var oacceptabla matematiska beteenden. Det är detta som är essensen i teorin om sociomatematiska normer. Som lärare tänker man oftast att man ska lära ut viss matematik. Man hoppas att om eleverna lär sig matematik så ska de också bli kompetenta matematikanvändare. Att de ska uppföra sig på ett matematiskt sätt, liksom. Men så blir det ju inte alltid. Att planera för vilka sociomatematiska normer man vill etablera med sina elever är att gå mer rakt på det där matematiska beteendet. Vi tror att det är smart att tänka så när man undervisar. Och det funkade ju fint för Lisa, Zoran och Lars.

 

Linda Marie Ahl & Ola Helenius

 

Kategorier: Okategoriserade