Det centralaste centrala begreppet

Har du någon gång gjort något som du skulle vilja ha ogjort? Det går ju inte. Men i matematiken går det ibland. Med det förträffliga fenomenet invers. En magisk ogörningsoperator. Vad vore matematiken utan invers? I bästa fall hälften av vad den nu är, men troligen inte ens det. Vad skulle vi göra utan inversen till addition (subtraktion), inversen till multiplikation, (division) och inversen till exponentiering (logaritmering)? För att inte tala om den multiplikativa inversen till ett tal, det vill säga det tal som multiplicerat med originaltalet ger det neutrala elementet 1.
Eller den additiva inversen för den delen, det som adderat till talet ger additionens neutrala element 0. Och hur ska vi dividera rationella tal utan invers? Eller lösa ekvationer? Nej, matematiken vore inte mycket utan det centralaste centrala begreppet: invers.

 

Konstigt nog nämns inte detta matematiska fundament någonstans i kursplanerna eller i kommentarmaterialet. Inte heller de läroböcker som vi har sett utnyttjar begreppet invers på ett systematiskt sätt. Det är ju väldigt märkligt med tanke på allt vi kan få “på köpet” om vi systematiskt undervisar om inversen till de operationen och processer vi arbetar med. Då skulle vi undervisa addition och subtraktion samtidigt, som två sidor av samma mynt istället för som två räknesätt. Och så gör man också i väldesignad undervisning på lågstadiet. Samma sak borde göras med multiplikation och exponentiering tycker vi [1].

 

Inverser kan användas som tankemodell i många olika situationer. Hur ska man till exempel räkna ut 10-(-4+5) ? Ja, proceduren är ju att man först ska räkna ut det som står inuti parentesen, så då står det ju bara 10-1. Men hur gör man generellt med parentesen, om det t ex står a-(-b+c)? Ta bort parentesen och byt tecken säger en del. Men varför? Ja ett sätt är tänka att -x betyder den additiva inversen till x, dvs det som ska adderas till x för att få 0. Och då ser man direkt att det är b-c som funkar. Så -(-b+c)=+b-c . I uttrycket a-(-b+c) kan vi alltså byta ut -(-b+c) mot +b-c och få a+b-c

 

Samma tanke funkar i ekvationslösning. I ekvationen 2x+5=10 vill vi ha bort femman i vänsterledet. Eller som Linda brukar säga “Vi tar död på allt oönskat med inverser”. I det här fallet är det alltså den additiva inversen till +5, dvs -5, som vi använder först. På båda sidor om likhetstecknet, naturligtvis. På den resulterande ekvationen 2x=5 tillämpas samma tanke igen. Fast nu är det multiplikationen med 2 som är det oönskade. Att neutralisera tvåan görs med den multiplikativa inversen, dvs vi delar båda sidorna med 2 eller multiplicerar båda sidorna med \frac{1}{2} .

 

En annan uppgift som många elever har svårt för är “vad ska man multiplicera 8 med för att få 7”. Ola läste en dag om denna svårighet och när han senare pratade med Linda så var hon övertygad om att hennes elever skulle kunna lösa den utan problem, fastän de aldrig hade stött på just den frågeställningen tidigare. Linda genomförde genast en liten empirisk undersökning med sina elever genom att skriva upp: Vad ska man multiplicera 8 med för att få 7. Och mycket riktigt, alla gav direkt svaret \frac{7}{8} utan att genomföra några beräkningar. Det var för att de var impregnerade med ett inverstänk. För den som tänker så handlar frågan om att ogöra åttan (med dess invers: en åttondel) och skapa sjuan. Det följer direkt att \frac{7}{8}  är den multiplikator vi söker. Enligt Lindas erfarenhet avhjälper inverstänket risken att eleverna försöker runda de rationella talen till förmån för tal skrivna i decimalform. Det är helt enkelt mycker mer effektivt att ta fram bråket \frac{7}{8}  genom att ogöra åttan och skapa sjuan i ett bråk. Att hitta ett tal i decimalform som gör jobbet är svårare eftersom vi har primtalet 7 i spel. Inte alls effektivt. Vänder vi tillbaka och frågar efter vilket tal som ska multipliceras med 7 för att få produkten 8 så blir det helt omöjligt, eller i alla fall i högsta grad opraktiskt, att hantera frågan med ett tal skrivet i decimalform, eftersom primtalet 7 nu står i nämnaren. Eleverna märker snabbt att de rationella talen, och rent allmänt: rationella uttryck, är helt överlägsna i skalningssituationer. Och det är inverstänket som ger de rationella uttrycken sin kraft.

 

För den som har koll på sina inverser blir det här med att lösa ekvationer inte särskilt utmanande. Inverser,  likhetstecknets betydelse, som vi diskuterade i förra bloggen, och de tre grundläggande räknelagarna associativitet, kommutativitet och distributivitet är vad som behövs. Ekvationslösning faller då ut som en naturlig konsekvens. Det är bara att städa upp i uttrycken med hjälp av inverser, följandes räknelagarna, tills den obekanta är isolerad och uttrycket för den obekanta står läsa på andra sidan likhetstecknet. Så det här med att lösa ekvationer är egentligen inte något som behöver undervisas särskilt mycket. Det är snarare inverser och räknelagar som behöver belysas i olika situationer. Om något borde man introducera ekvationer tidigare som ett sätt att öva på likhetstecknets betydelse och hur man tänker i termer av invers. Och delvis görs det när man behandlar öppna utsagor av typen 2+\_=5. Om du som läsare känner dig misstänksam mot att det inte skulle vara nödvändigt att låta eleverna beta av ett kapitel som heter Ekvationer varje år så kan du ju fråga dig: Hur bra har det fungerat hittills? Linda är närmast allergisk mot att ekvationslösning föräras egna kapitel i läromedel. Hon ser dem som ett verktyg och en konsekvens av redan kända finfina idéer och inte en egen storslagen matematisk idé. Därför har den inte rätt att existera på samma rubriknivå som till exempel funktioner. Det indikerar ju att ekvationer och funktioner skulle vara lika viktiga inom matematiken. En hårresande missuppfattningstanke! Det vore kanske bättre om ekvationer kontinuerligt användes som problemlösningsverktyg istället för att förvisas till ett eget kapitel i boken. Ola är som algebraiker mer förtjust i ekvationer än Linda eftersom de trots allt har en grundläggande roll i den högre matematiken. Men vi är båda överens om att ekvationer särbehandlas på ett konstigt sätt i skolmatematiken.

 

Men tillbaka till inverserna. Alla dessa enskilda metoder för att hantera parenteser, ekvationer, bråk och multiplikation är naturligtvis redan någon som alla lärare undervisar. Men vi tror inte att alla systematiskt framställer de olika sakerna som tillämpning av samma generella idé, nämligen inversen. Det tror vi att man borde. Kanske tycker någon att vi slänger oss med termen invers lite oprecist här. Det är ju massa olika inverser. Additiva respektive multiplikativa inverser till tal. Inverser till operationer eller operatorer och inverser till funktioner. Blir inte eleverna förvirrade om man benämner alla dessa olika saker med samma term? Nej det tror vi inte. Det är ingen slump att vi har valt  upphöjt till minus ett både för att beteckna den multiplikativa inversen av ett tal s^{-1} och för att beteckna inversen av en funktion f^{-1}.  Henri Poincaré sa en gång att matematik är konsten att ge samma namn till olika saker. Inversen är en kraftfull och användbar matematisk idé som förekommer i olika skepnader. Vi tror att det är bättre att poängtera den begreppsliga likheten mellan alla dessa fall snarare än att få det att framstå som en stor mängd olika tekniker och procedurer[2].

 

Och om man tidigt har vant sig vid ogörningsoperationer och annat baklängestänk så har man en stor fördel när inverserna blir mer komplicerade som t ex för trigonometriska funktioner där man måste begränsa definitionsmängden för att inversen ska existera. Om man är bekväm med inverstänket sedan tidigare blir det nog också enklare att förstå varför vissa funktioner inte har invers. Kanske blir det också lättare att förstå när påståenden kan omvändas. Omvändningen till satser faller också under ett baklängestänk. Till exempel att omvändningen till Pythagoras sats gäller för att avgöra om en triangel är rätvinklig. Och att faktorisering av polynom är ju som att köra distributiva lagen baklänges. Väldigt centralt inom algebran faktiskt. Har eleverna dessutom koll på att 1 är det neutrala elementet i multiplikation blir det helt rimligt att ställa en etta på en plats som råkar bli tom när en gemensam faktor bryts ut.

 

Som vi vi nämnde ovan är det relativt vanligt idag att behandla addition och subtraktion samtidigt. Ett utmärkt sätt att närma sig inverser. Men det är ovanligare att man gör samma sak med multiplikation och division. Man kan även lära små barn som just fått kontakt med multiplikation att division är inversen till multiplikation. Såvida de inte haft oturen att ha blivit utsatta för en introduktion av multiplikation som upprepad addition, förstås. Den tragedin förtjänar en helt egen framtida bloggpost.

Linda Marie Ahl & Ola Helenius

 

 

1. När det gäller våra mest elementära funktioner, de vanliga aritmetiska operationerna, är det rent formellt lite lurigt med inverser. Om vi tänker på addition som en funktion x+y, dvs f(x,y)=x+y så finns ju ingen invers. Om Pelle har fem päron och Lisa har tre så har de åtta tillsammans. 5+3=8. Men om de har 8 äpplen tillsammans, hur många har då var och en av dem? Det går inte att säga. Nej, en lite annan syn på addition måste till. Pelle har  fem äpplen. Han hittar tre till. Hur många har han sen? Här är addition en slags förändring och situationen beskrivs av läge -> förändring ->  nytt läge. En sån här förändring kan göras ogjord genom att man helt enkelt tar bort de tillagda äpplena. Pelle har äpplen. Han hittar tre till. Sen har han  8. Hur många hade han från början? Där har vi två situationer som så att säga är inverser till varandra. Med andra ord får rent formellt tänka på addition som en operator. Adderafemoperatorn är den operator som alltid lägger till 5 till något: f_{+5}(x)=x+5. Den har inversen minusfemoperatorn f_{-5}(x)=x-5. På samma sätt tänker man med de andra aritmetiska operationerna. Om man vill vara formell, alltså. I praktiken behöver man dock mycket sällan vara så formell.
2. Den generella tolkningen av inverser är att saken ihopsatt med inverssaken ska bli identiteten. Vad ihopsättning är beror på sammanhanget. Vad identiteten är beror också på sammanhanget men det är helt enkelt den sak som inte gör någon skillnad när man tillämpar den. Identiteten vid addition är 0. Identiteten vid multiplikation är 1. Identiteten för funktioner är f(x)=x. Därför är -a den additiva inversen till a, ty -a+a=0 och den multiplikativa inversen till a är 1/a ty a/a=1. Och inversen till f(x)=2x+1 är g(x)=\frac{x-1}{2} för g(f(x))=g(2x+1)=\frac{(2x+1)-1}{2}=x.