Likhetsnormen

Olas sjuåriga dotter Lisa skriver:

3+2=5

Så långt allt väl. Men hon fortsätter. Strax därefter har hon producerat det skriftliga uttrycket:

3+2=5+3=8

Ola utbrister: Aj, jag tycker inte om när man skriver sådär.

Det Lisa skriver är helt korrekt ur ett perspektiv. Det är en helt korrekt illustration av processen att först addera tre och två, fundera ut vad det blir och sedan addera tre och dra slutsatsen att det är åtta. Men den vedertagna notationen för likhetstecknet sammanfaller ju inte med hur Lisa skapar en skriftlig representation av sina matematiska handlingar. Därav Olas uttryck av obehag. Eftersom Ola är matematiker är han välbekant med hur likhetstecknet ska behandlas. Det finns visserligen så vitt vi vet ingen ISO-standard som deklarerar exakt hur likhetstecknet ska användas. Men icke desto mindre finns det en historiskt och kulturellt grundad  överenskommelse om likhetstecknet som reglerar användningen.  Denna överenskommelse sammanfaller med den matematiska definitionen av begreppets innebörd. Det finns ju inget objektivt skäl till att Lisas användning är fel. Hon verkar ju ha fattat galoppen! Det är bara fel i relation till de etablerade normerna runt hur likhetstecknet förväntas användas. Men de etablerade normerna är viktiga. När Ola säger att han inte tycker om hur Lisa skriver, så kommunicerar han egentligen att han i egenskap av kunnig expert inte godtar Lisas sätt att använda likhetstecknet i sin matematiska kommunikation.

Effekten av detta är att Ola i egenskap av expert etablerar en sociomatematisk norm för hur  likhetstecknet får användas. Han säger säger samtidigt något om likhetstecknet som koncept och något om matematisk auktoritet.

Funkade då Olas taktik för att etablera en norm? Det verkar så. Någon vecka senare sa Lisa “jag skriver så här istället för sådär, för du tycker ju inte om när man skriver så här”. Nu använde hon likhetstecknet korrekt. Lisa är bara 7 år och beundrar, åtminstone i några år till, sin pappa som hon vet är matematiker. En sådan relation underlättar etablerandet av sociomatematiska normer. Hon tillhör dessutom de lyckligt lottade, som har högutbildade föräldrar som kan stötta henne. Men hur är det i den andra änden av skalan? Är det lika lätt att etablera sociomatematiska normer där? I vuxenutbildning klustrar många som återvänder till matematiken efter många år av skolmatematiska misslyckanden. Linda undervisar sådana studenter. De är dessutom är extra “undertryckta” eftersom de sitter i fängelse då Linda är lärare i Kriminalvårdens vuxenutbildning. Men även om hennes elever är vuxna, och borde veta bättre, så förekommer ofta likartade missbruk av likhetstecknet som i Lisa-fallet. Här följer ett exempel:

Linda: Lars, vad gör du nu? Det där är ju inte lika! Du måste vara mer noggrann. Har du skrivit likhetstecken så måste det vara lika.

Linda läxar här upp en av sina studenter. Hon är lite hårdare i tonen än vad Ola var mot sin dotter, men poängen är exakt densamma. Effekten blev att Lars började utelämna likhetstecknet helt och skriva uttryck separerade från varandra på pappret, liksom för att undvika att behöva ta ställning till om uttryck verkligen är lika eller ej. Han blev helt enkelt osäker på exakt hur likhetstecknet skulle användas på ett korrekt sätt och undvek att använda det för att inte göra fel. Eller för att inte misshaga Linda igen, kanske?

Lindas student Lars är 27 år och läser gymnasiets kurs 2 (egentligen läser han kurs 1 men Linda råkade undervisa 1 och 2 på ett bräde). Han är angelägen om att göra rätt och i allmänhet räknar han ut rätt svar på de flesta aritmetiska uppgifterna. Är det bra att Linda har skrämt upp Lars så att han knappt vågar använda likhetstecknet längre? Hon har etablerat en så stark norm runt likhetstecknet att Lars helst undviker det helt och hållet. Ja, vi tror nog det. Lars hade redan fungerande scheman för de processer man behöver för att plocka fram rätt svar till aritmetikuppgifter. Men en av matematikens styrkor är dess formalism. När man gör saker som man kan väldigt väl så kan man kanske slarva med formalismen, men när man sträcker sig mot gränsen av sin matematiska förmåga hjälper formalismen till att minska kraven på arbetsminne och koncentration. Formalismen håller så att säga ordning på en del av matematikens komplexitet åt dig.

Vi kan tänka lite på Lars. Han har lyckats att gå igenom hela grundskolans matematik, och mer därtill, utan att lära sig hur en av matematikens viktigaste symboler ska användas. Han förstår inte riktigt innebörden i begreppet likhet och förstår inte hur likhetstecknet ska användas i matematisk kommunikation. Det måste väl vara ett misslyckande, eller?

Innan vi fortsätter att gnälla på likhetstuppfattningen hos barn och elever kanske vi kan fundera på vår egen kunskap. Vad är likhet då?  Innan du läser vidare, fundera på hur du själv definierar likhet, dvs det som likhetstecknet signifierar. Skriv gärna ned en formell definition.

Det är inte så lätt, för om man till exempel reducerar det till att handla om “lika många” eller “lika mycket” så återstår frågan om vad många eller mycket betyder. I Terminologiboken1 beskrivs likhet som logisk relation som innebär att två uttryck är identiska. Men även där återstår då att förklara vad identiska betyder. \frac{1}{2}=\frac{2}{4} kan vi vara överens om,  men man ser ju med blotta ögat att de två uttrycken inte är identiska. Och dessutom: Om \frac{1}{2} och \frac{2}{4} verkligen var identiska så skulle det ju aldrig vara meningsfullt att byta ut den ena mot den andra, och det ber vi ju elever ofta att göra, t ex när vi ber dem förkorta. Så det håller inte riktigt att säga att likhet gäller om två uttryck är identiska. Den bästa beskrivningen vi känner till är att likhet betyder utbytbarhet. Man måste då hålla ordning på vilket sammanhang man är i. Om man sysslar med aritmetik så gäller att två uttryck är lika om det ena är utbytbart mot det andra i alla aritmetiska sammanhang. Dvs A=B om A och B uppför sig likadant i alla aritmetiska uttryck. Den observanta inser att även detta är lite av en cirkeldefinition. Men det är ändå en avsevärt djupare beskrivning av likhet än att två uttryck är identiska.

Vi återvänder till Linda och hennes elev Lars. Vi sa att det var bra att hon skrämde upp honom genom att göra klart att det finns en stark norm runt hur likhetstecknet ska användas och den associerade frågan om vad likhet är. Lars har inte bara uppmärksammats på att det minsann är något viktigt, det där med likhetstecknet. Han har också uppmärksammats på att det inte bara är svaret på uppgiften som spelar roll. Man kan säga att  precis som när Ola pratade med Lisa så handlar Lindas kommunikation med Lars om att sätta fokus på kommunikation och begreppsförståelse. Men Linda är naturligtvis inte färdig. Hon måste stötta Lars i att bygga upp en förståelse för likhet och för formalismen runt hur likhet behandlas. Formalism är ju som sagt inte bara en fråga om snygga presentationer. Det är en viktig matematisk teknik.

När man arbetar med små barn, och kanske stora med för den delen, är det erkänt viktigt att koppla matematiska begrepp och hur de representeras till barnens erfarenhetsvärld. De matematiska uttryck och representationer som barnen använder och skapar blir kanske inte alltid de konventionella. Skälet till att det här är en bra strategi är att det är det inte räcker med aldrig så välformulerade matematiska definitioner för att förstå matematiska begrepp. Man måste också koppla dem till en stor mängd upplevda situationer som innefattar de fenomen som begreppen avser att fånga. Men det finns inget som hindrar att denna informella matematik mycket tidigt kombineras med den formella. Som vi såg i inledningen var det till och med för Lisa, som är i starten av sin matematiska karriär, möjligt att kunna urskilja formalismens betydelse. Vi tror också att det finns mycket att vinna på att tänka på formalism i termer av normer. Det är liksom som ett slags matematisk gott uppförande, att kunna presentera saker i en formell representation.

Om man låter det gå allt för lång tid av att “slippa undan” i undervisningskontexten så kan det bli svårt att få eleverna att acceptera formalismens betydelse. Så var det med Zoran, en annan av Lindas studenter, som trots tjat vägrade att sluta missbruka likhetstecknet. Han staplade glatt på nya uttryck i högerledet, som då inte alls var lika med vänsterledet, och avfärdade Lindas invändningar med, “du fattar ju var jag menar”. Det gjorde såklart Linda, precis som Ola fattade vad Lisa menade i det inledande exemplet.  Men poängen med matematisk kommunikation och dess formella sida är ju inte bara att någon ska fatta vad man menar. Det är som sagt mycket viktigare än så. Den här gången fick Linda lösa det hela på ett något okonventionellt sätt. Eftersom Zoran var djupt troende muslim så hotade Linda honom med något som har en fundamental betydelse i hans tro. Hon sa: Likhetstecknet är matematikens heliga ko. Om du inte slutar att missbruka likhetstecknets betydelse så ritar jag av Muhammed här i din räknebok. Zoran kontrade: Det kan du inte göra! Linda sa: Try me! Eftersom studenten verkligen både trodde att Linda skulle drista sig till att avbilda Muhammed, samtidigt som han genom analogin förstod att det verkligen är viktigt i matematiken gjorde det susen! Efter denna didaktiska höjdpunkt missbrukades likhetstecknet inte mer. En stark sociomatematisk norm var etablerad! Detta smittade även de studerande som överhörde samtalet, trots att de bekände sig till andra religioner. 2

Vad gäller Lars, så så är han numera helt trygg i sin likhetstecken-användning. Han gick från likhets-missbruk via likhets-skräck till en fullt kompetens likhets-användare.  Han kan nu t ex  genomföra bevis av att två algebraiska uttryck är lika på ett sätt som kräver att han har internaliserat betydelsen av likhet och likhetstecknets användning.

Väldigt många studenter missbrukar likhetstecknet. Vi menar att det kan utgöra ett hinder för deras matematiska utveckling. De flesta har nog otaliga gånger blivit tillsagda vad likhet betyder. Men i de tre exemplen vi visat så går vi inte riktigt vägen över matematiska regler utan formulerar det som godtagbara matematiska beteenden. Istället för att säga att det som Lisa, Zoran och Lars gjorde var matematisk fel lät vi dem förstå att det var oacceptabla matematiska beteenden. Det är detta som är essensen i teorin om sociomatematiska normer. Som lärare tänker man oftast att man ska lära ut viss matematik. Man hoppas att om eleverna lär sig matematik så ska de också bli kompetenta matematikanvändare. Att de ska uppföra sig på ett matematiskt sätt, liksom. Men så blir det ju inte alltid. Att planera för vilka sociomatematiska normer man vill etablera med sina elever är att gå mer rakt på det där matematiska beteendet. Vi tror att det är smart att tänka så när man undervisar. Och det funkade ju fint för Lisa, Zoran och Lars.

 

Linda Marie Ahl & Ola Helenius

 

  1. Kiselman, C. O., & Mouwitz, L. (2008). Matematiktermer för skolan.
  2. Vi vill särskilt poängtera att Linda  respekterar religionsfriheten. I det här speciella fallet hade Linda och studenten en väl etablerad relation och Linda visste att poängen skulle landa väl, vilket den gjorde.
Kategorier: Okategoriserade

4 Kommentarer

  1. Givetvis måste vi se till att = behandlas på ett korrekt sätt. Alla överträdelser måste beivras och korrigeras. Det klarar vi utan att hitta på begreppet ”sociomatematiska normer”. Vi har en matematikterminologi som är vår kompass i den matematiska djungeln.

  2. Väldigt intressant med dina intagna som elever. Jag möter elever på en folkhögskola med samma studiemisslyckanden bakom sig.

    Bortsett från det sociomatematiska och vikten av begrepp tidigt, så en fundering om Lars som ”har lyckats att gå igenom hela grundskolans matematik, och mer därtill, utan att lära sig hur en av matematikens viktigaste symboler ska användas”: Är det hans fel? Finns det statistik på hur stor andel lärare som låter likhetstecknet betyda ”blir”?

    • Nej, jag personligen anser att allt är lärarnas fel, inklusive mig själv och mitt arbete. Någon statistik av det slaget känner jag inte till. Man kan gissa att de flesta lärare ändå tjatar lite om likhetstecknets korrekta användning, men att det inte med tillräcklig intensitet, eller i alla fall inte avsedd effekt.

      Linda

      • Frågan var förstås retorisk utifrån misstanken att många inte tar upp dess korrekta användning alls.


Lägg till kommentar

E-postadressen publiceras inte. Obligatoriska fält är märkta *

Kommentar *

Name *
Epost *